Matemáticas que ayudan a predecir el resultado de un partido de fútbol

Extracto de "¡Que las matemáticas te acompañen!

Selección a cargo de Valentina Raffio

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MATEMÁTICAS, QUE NO ES POCO

Soy matemática. Y me gusta. Lo sé, puede que alguien no le encuentre la gracia a este hecho y se imagine que quien teclea estas líneas es un «bicho» raro, asocial, con una mente privilegiada para hacer cálculos mentales mientras sus ojos giran a gran velocidad activando las neuronas que ponen en marcha los algoritmos algebraicos. Pues no, no soy nada de eso. Bueno, no sé si soy rara, yo me veo bastante normal, muy gaussiana. Lo siento, no pude evitar hacer el chiste matemático, pero es que el texto me lo estaba pidiendo a gritos.

Muchas veces me preguntan por qué elegí estudiar matemáticas, si tuve algún profesor que me inspirase especialmente para hacerlo, si fui una niña prodigio que destacó haciendo cuentas, si siempre quise ser matemática. La respuesta a todas esas preguntas es no; cuando era niña quería tener una mercería donde vender botones, muchos botones, de todos los tamaños y de todos los colores, porque adoraba el sonido producido al arrancarlos del cartón en el que solían venir pegados en aquella época. Eso o cantante, cantante de copla española. Me ponía flores de plástico de los floreros de casa en el pelo para cantar coplas con mucho sentimiento, todo muy dramático. Cuando era adolescente quería ser Madonna. Ese era mi sueño. Lamentablemente (o afortunadamente) la naturaleza no me dotó de grandes aptitudes para la música y tuve que elegir otro camino.

"Pero ¿por qué matemática? Porque yo era, básicamente, perezosa. No me gustaba aprender nombres que otros habían asignado a los ríos, los animales o las plantas porque sí, porque ellos quisieron. Las mates, en cambio, eran un juego; solo había que aprender las reglas y jugar"

Clara Grima

— ¡Que las matemáticas te acompañen! (Ariel, 2018)

Pero ¿por qué matemática? Porque yo era, básicamente, perezosa. No me gustaba aprender nombres que otros habían asignado a los ríos, los animales o las plantas porque sí, porque ellos quisieron. Las mates, en cambio, eran un juego; solo había que aprender las reglas y jugar. ¡Había que descubrir! Eso era emocionante. Recuerdo que la primera vez que resolví una ecuación (lineal de primer orden, tipo x + 3 = 5 o similar) di un grito de alegría. ¡Sabía descubrir secretos de las matemáticas! Todo era lógico, las matemáticas son lo que tienen que ser, no dependen del capricho humano, son y serán siempre las mismas. Son eternas. Cualquier movimiento político puede cambiar una frontera o el nombre de una ciudad, pero 7 siempre será un número primo y eso es algo tan poderoso como maravilloso.

Así que cuando llegó la hora de elegir qué estudiar en la universidad lo tenía casi del todo claro. Durante unos meses dudé entre estudiar matemáticas y filosofía; ambas me llamaban por igual, las dos me hacían pensar. Fue mi profesor de filosofía, Antonio Hurtado, quien me ayudó a decidir: «Estudia matemáticas en la universidad y lee libros de filosofía en tu tiempo libre. Tienes que comer». Desgraciadamente, mi profesor tenía razón porque en aquella época (ahora aún más) la filosofía era una carrera con poco futuro laboral. Por otra parte, aquel consejo de Antonio es uno de los mejores que me han dado en mi vida, y no solo porque estoy trabajando casi desde que terminé mis estudios de matemáticas, sino también porque las matemáticas han moldeado mi vida y les ha quedado bastante bien. Las matemáticas me han hecho y me hacen feliz.

Empecé mis estudios de matemáticas en la Universidad de Sevilla y descubrí qué significaba realmente esa palabra: matemáticas. Me enamoré perdidamente de esta rama del conocimiento y, no sin esfuerzo, completé mis estudios. Pero es que las matemáticas no son fáciles pero, eso sí, son muy emocionantes; no hay nada más fascinante. Cuando terminé mis estudios, comencé mi tesis doctoral en Geometría Computacional de la mano de Alberto Márquez y ya sí, entregué mi corazón y mi amor completo a esta forma de ver la vida, a través de las matemáticas.

"Me enamoré perdidamente de esta rama del conocimiento y, no sin esfuerzo, completé mis estudios. Pero es que las matemáticas no son fáciles pero, eso sí, son muy emocionantes; no hay nada más fascinante"

Clara Grima

— ¡Que las matemáticas te acompañen! (Ariel, 2018)

Comencé a trabajar como profesora del área de Matemática Aplicada de la Universidad de Sevilla un maravilloso día soleado de noviembre de 1995. Rápidamente descubrí que la satisfacción de investigar es solo comparable a la de contar y enseñar lo que has descubierto. Durante más de diez años esto último se redujo al ámbito de mis clases en la Universidad y a las comunicaciones en congresos. Con la llegada de mis hijos se me planteó el reto de contarlo fuera del aula, en la alfombra del salón.

Mi hijo pequeño, Ventura, tenía 6 años en aquella época y me preguntó qué era eso que llevaba en la camiseta.

—Mami, ¿eso es una mesa o una portería de fútbol?

—Es un número, Ventura, se llama π (pi). Él me miró extrañado, escéptico, como son y deben ser los niños.

—Es un número que está entre el 3 y el 4 —añadí.

—Mami, no hay ningún número entre el 3 y el 4. Está el 3 y después viene el 4.

—Bueno, sí que hay números entre el 3 y el 4, de hecho hay infinitos.

—¿Cuántos son infinitos, mamá? —mi hijo de 8 años se unió a la fiesta. 

Como nunca fui cobarde, creo, y me encantaron sus preguntas, traté de explicarles estos conceptos como pude, inventando historias, explicando que el número π servía para medir círculos; sin él no podríamos medir las circunferencias, les dije. Y el infinito era algo que solo estaba en nuestra cabeza y que nunca podríamos alcanzarlo por mucho tiempo que estuviésemos contando.

"Como nunca fui cobarde, creo, y me encantaron sus preguntas, traté de explicarles estos conceptos como pude, inventando historias, explicando que el número π servía para medir círculos; sin él no podríamos medir las circunferencias, les dije"

Clara Grima

— ¡Que las matemáticas te acompañen! (Ariel, 2018)

Sus conclusiones, básicamente, fueron dos:

—¡Ah, claro! Por eso las pizzas se llaman pi-zzas, porque son redondas.

—El infinito es un invento de los matemáticos para cuando se cansan de contar.

Es fue el Big Bang de mi carrera divulgadora. Con la ayuda del pincel y las acuarelas de Raquel GU (ilustradora de este libro) empezamos nuestro blog Mati y sus mateaventuras, pleno de historias rellenas de matemáticas o de matemáticas disfrazadas de cuentos.

Todavía nos sorprende el recibimiento que tuvo el blog, en principio para familias, entre los profesores de primaria y secundaria. Y no solo profesores: gente que pensaba que no le gustaban las matemáticas nos escribía para decirnos que así las matemáticas eran bonitas.

No tiene mérito; las matemáticas son bonitas porque lo son. Lo único que hicimos fue mostrarlo en contexto, dentro de historias. Aún hoy en día mucha gente asocia las matemáticas con hacer cuentas, con hacer divisiones o raíces cuadradas, pero eso no es matemáticas. Las matemáticas son, como ya he dicho hace unas líneas, un juego, un juego maravilloso y poderoso: son lo que tienen que ser. Son el lenguaje que describe nuestro mundo, son una forma de razonar con lógica y elegancia. Son la forma de entender nuestro universo.

"Aún hoy en día mucha gente asocia las matemáticas con hacer cuentas, con hacer divisiones o raíces cuadradas, pero eso no es matemáticas. Las matemáticas son, como ya he dicho hace unas líneas, un juego, un juego maravilloso y poderoso: son lo que tienen que ser"

Clara Grima

— ¡Que las matemáticas te acompañen! (Ariel, 2018)

Desde 14 de mayo de 2011 dedico parte de mi tiempo a la divulgación, para niños de 9 a 99 años, consciente de que a todo el mundo le gustan las matemáticas, solo que algunos aún no lo saben.

El libro que tienes en las manos pretende demostrar esto último, que te gustan las matemáticas. Si ya lo sabes, espero que disfrutes de este paseo por tu vida cotidiana encontrándolas en casi cualquier cosa que haces, desde atarte los zapatos hasta ese selfi en el que has salido tan bien, pasando por subastas, máquinas de coser, Juego de tronos o Google. Si eres de los que piensan que no le gustan las matemáticas, déjame convencerte de lo contrario: todo lo que haces está relleno de ellas y son apasionantes. Y si te convenzo solo te pido a cambio un favor: sal a la calle y grita que te gustan las matemáticas. Lo más alto que puedas. Desgraciadamente, aún en el siglo xxi, en medio de tanta tecnología hay gente (con un teléfono móvil en la mano) que afirma lo contrario, que asegura que las matemáticas no sirven para nada. Pues bien, ese sentimiento que flota en el aire es un freno en las ruedas del futuro de cualquier país, porque el futuro se escribe con M de matemáticas. El matemático Edward Frenkel tiene una frase tan cortita como elocuente para explicarlo: «Hay una pequeña élite que tiene el poder. Y lo tiene porque sabe matemáticas y tú no». Hagamos, como dice el también matemático Cédric Villani, que saber y entender matemáticas sea una prioridad nacional.

Ponte cómodo, relájate y déjate llevar en este paseo por tu cotidianidad. No querrás caer en el lado oscuro, ¿verdad? ¡Que la matemática te acompañe! 

"Si eres de los que piensan que no le gustan las matemáticas, déjame convencerte de lo contrario: todo lo que haces está relleno de ellas y son apasionantes"

Clara Grima

— ¡Que las matemáticas te acompañen! (Ariel, 2018)

FÚTBOL: las matemáticas aciertan más que el pulpo Paul

¿Recuerdan el Mundial de Fútbol de 2010? Seguro que sí. ¿Y el famoso pulpo Paul que predecía los resultados? Puesto que no contamos ya con él (que en paz descanse), y no se conocen ecuaciones que ayuden a predecir el resultado de un encuentro, no faltarán los que ante alguna competición encuentren algún indicio de victoria o derrota con un nuevo bichito o en una mancha en la pared... Si son menos ingenuos que eso, les propongo estudiar un poco de teoría de grafos para predecir algún resultado.

Cada vez que se acerca un mundial, nuestra selección se enfrenta a la misión casi imposible de renovar el título conseguido gracias a Iniesta, Xavi, Xabi y compañía. Aparte de una alimentación sana, descanso y duros entrenamientos, parte de la ayuda puede venir de una disciplina matemática: la teoría de grafos, de la que ya hemos hablado. Existen varios trabajos que tratan de estudiar las tácticas de cada equipo, sus puntos fuertes y sus flaquezas en función del grafo de sus pases asociados (los vértices son los jugadores y se añade una flecha entre ellos de diferente grosor en función del número de pases en esa dirección). En este sentido se hicieron particularmente famosos en el mundial de 2010 dos matemáticos, Javier López Peña y Hugo Touchette, de la Queen Mary University de Londres.

"Cada vez que se acerca un mundial, nuestra selección se enfrenta a la misión casi imposible de renovar el título conseguido gracias a Iniesta, Xavi, Xabi y compañía. Aparte de una alimentación sana, descanso y duros entrenamientos, parte de la ayuda puede venir de una disciplina matemática: la teoría de grafos"

Clara Grima

— ¡Que las matemáticas te acompañen! (Ariel, 2018)

En él recogieron todos los pases dados en las distintas fases de juego y llegaron a predecir el triunfo de España. También analizaron algunos partidos específicos, poniendo de manifiesto, por ejemplo, los enormes agujeros en las tácticas de Inglaterra contra Alemania. Para cada selección, López Peña y Touchette elaboraron una red de pases (passing network) entre los jugadores durante todo el torneo y analizaron cómo estas redes se comparan entre los equipos. Touchette explica que «a cada jugador en la red se le asigna una puntuación llamada centralidad (centrality) que mide lo vital que es para la red. A mayor valor de la centralidad, mayor será el impacto si ese jugador falla por alguna razón. Este tipo de análisis se utiliza comúnmente para conseguir las redes informáticas más robustas, pero también puede ser utilizado para planificar la estrategia del fútbol».

¿Cómo calculan la centralidad de un jugador? En función de varios parámetros, principalmente tres: cercanía (closeness), intermediación (betweenness) y popularidad (PageRank centrality). La cercanía de cada jugador es un valor asignado a este en función de su distancia media al resto del equipo, de tal forma que un jugador bien conectado con el equipo tendrá una distancia media pequeña y una cercanía alta. La intermediación mide, en algún sentido, la importancia de ese jugador en jugadas que conectan a otros dos compañeros de su equipo, o dicho de otra manera, el impacto que quitarlo produce en el juego del resto de sus compañeros.

En este sentido, el equipo debe procurar tener una distribución uniforme de este valor, la intermediación, entre sus jugadores, para evitar el riesgo de depender fuertemente de algunos jugadores estrellas. En cuanto a la popularidad, conviene señalar que, básicamente, esta noción de centralidad coincide con el PageRank que Google utilizaba para indexar internet, dando más «peso» a algunas páginas en función de las páginas que la enlazan, por ejemplo. En el caso del fútbol, tu popularidad se mediría usando, entre otros parámetros, la probabilidad de que otro jugador muy popular decidiese pasarte el balón en lugar de continuar él con la jugada. El valor de este último parámetro para un determinado futbolista, evidentemente, depende de los valores de popularidad de sus compañeros de equipo, y por ello hay que calcularlo en conjunto.

Aparte de estos tres parámetros que miden el rendimiento de cada futbolista, proponen también la asignación de un valor de agrupación (clustering) del equipo, una medida de la tendencia de los jugadores del equipo a agruparse, a pasarse el balón unos a otros. Calculados estos valores, usando datos de partidos anteriores, ¿cómo se hizo la predicción Holanda-España sin ningún pulpo?

Las redes de pases estudiadas revelaron que los jugadores españoles habían hecho un número sorprendentemente grande de pases en este torneo (cosa que, por otra parte, ya sabe cualquier aficionado al fútbol tiqui-taca), casi el 40 % más que Alemania y dos veces más que los holandeses.

"Las redes de pases estudiadas revelaron que los jugadores españoles habían hecho un número sorprendentemente grande de pases en este torneo (cosa que, por otra parte, ya sabe cualquier aficionado al fútbol tiqui-taca), casi el 40 % más que Alemania y dos veces más que los holandeses"

Clara Grima

— ¡Que las matemáticas te acompañen! (Ariel, 2018)

«El equipo se basa en pases rápidos que están bien distribuidos entre todos los jugadores, especialmente entre aquellos que juegan de mitad de campo», dijo Javier López Peña. Pero no solo eso; el equilibrio español también se encontraba en los pases que recibía David Villa, máximo goleador del torneo, con un promedio de 37 pases por partido, más que cualquier otro delantero del resto de los equipos.

Por el contrario, el modo de juego holandés era claramente ofensivo, con número muy bajo de pases entre los jugadores, la mayoría de los cuales estaban dirigidos a los delanteros. Según López Peña, «El bajo número de pases muestra que los holandeses prefieren ataques rápidos, contraataques, en lugar de jugadas elaboradas. Sus objetivos son a menudo marcados en jugadas claves como los tiros libres y usan su presencia física para vencer a sus oponentes». En función de esos datos llegaron a la conclusión de que era más sencillo para España anular el juego holandés y que, por tanto, la victoria debía corresponder a nuestra selección; publicaron dichos resultados el día 2 de julio de 2010 (días antes de la final). Así que ya sabemos que nuestra selección contaba a su favor tanto con la teoría de grafos como con el pulpo Paul: no podíamos perder.