¿Se ha cuadrado el círculo? (y qué tiene que ver eso con Lviv)

El descubrimiento bebe de una tradición surgida hace un siglo en la entonces ciudad polaca de Lwów, la actual ciudad ucraniana de Lviv. De hecho, uno de los autores se formó en esa ciudad.

Aunque se le parezca, eso no es la cuadratura del círculo, en el sentido literal. Este problema secular está definido de una manera distinta y no tiene solución posible, como se demostró en 1882. 

El problema original de la cuadratura del círculo 

Tal y cómo se formuló en la antigua Grecia, ese problema consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo, empleando regla y compás. 

“Para los griegos, las herramientas de dibujo eran fundamentales. La cuadratura del círculo es uno de los diversos problemas que propusieron sobre qué se podría construir o no con ellas”, explica Ignasi Mundet, investigador del Centre de Recerca Matemàtica. 

Cuadrar el círculo fue un reto abierto hasta 1882, cuando el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que era imposible. La razón arraiga en la naturaleza del número pi, que define las propiedades del círculo y establece unas relaciones imposibles de manejar con regla y compás.  

El problema, redefinido como un puzzle

Si se pasa a una definición más genérica, se plantean otras vías para cuadrar el círculo. Por ejemplo, por medio de un puzle: romper un cuadrado en una cantidad finita de piezas que, rotadas y trasladas, formen un círculo con la misma área. 

Esa formulación la planteó en 1925 el matemático polaco Alfred Tarski. “Desde el punto de vista matemático, no hay ninguna relación entre una cuestión y otra, más allá de que ambas hablan de círculos y cuadrados”, explica Mundet. 

El año anterior, Tarksi había hecho un hallazgo desconcertante, junto con otro matemático: Stefan Banach, profesor en la ciudad entonces perteneciente a Polonia (Lwów) y hoy a Ucrania (Lviv). 

La paradoja de Banach y Tarski afirma que se puede coger una bola y partirla en un número finito de trozos, que se pueden recombinar para formar no una, sino dos bolas idénticas a la primera. ¿Cómo puede un volumen multiplicarse por dos? El truco es que los trozos no son piezas regulares. Se pueden imaginar como una especie de nubes de puntos por las cuales la definición habitual de volumen falla. 

La larga marcha de la solución

Sucesivamente, explica Mundet, Banach demostró que esta paradoja no ocurría si se consideraban figuras planas en lugar de tridimensionales. Un ejemplo sencillo de ello es que si hay dos polígonos de la misma área se pueden siempre armar uno con las piezas de otro. Según Mundet, era natural que Tarski se preguntara si se podía hacer lo mismo con un círculo y un cuadrado con la misma área.

La respuesta a esta pregunta no llegó hasta 1990, cuando el húngaro Miklós Laczkovich demostró que sí era posible. El problema de esa solución es que requiere un número descomunal de piezas y que no dice la forma que deben tener. 

Allí entra en juego Oleg Pikhurko, matemático de Lviv que trabaja en la Universidad de Warwick (Reino Unido) y lleva unos años poniéndole cara a esas piezas. Su última publicación representa un paso más en la definición de sus propiedades matemáticas.

El número de piezas necesarias sigue siendo astronómico, pero simulaciones en el ordenador sugieren que en un futuro se podrían reducir a una cantidad más manejable, apunta Andras Mathe, coautor del trabajo. Lo que nunca va a ser posible es fabricar un puzzle, ya que la forma de esas piezas no es ni continua ni regular, lo que hace imposible construirlas físicamente. 

La Escuela Matemática de Lwów

Cuando planteó su paradoja, Banach ya había sentado las bases de la Escuela de Lwów, un grupo de investigadores que influyó en la matemática y la física del siglo sucesivo. 

El grupo organizó una tertulia en el Café Escocés de la ciudad, cuyas conclusiones se anotaban en el mítico Cuaderno Escocés. En este objeto de culto se formularon algunos problemas clave para el futuro de esa disciplina.

Este crisol de conocimiento fue arrasado por la segunda guerra mundial. Primero, los nazis asesinaron o deportaron a algunos miembros de la tertulia. Luego, las tropas estalinistas expulsaron a otros por ser polacos, tras la anexión a Ucrania de esa parte de Polonia. La actual ciudad de Wroclaw acabó acogiendo a la mayoría de ellos. 

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Es una “historia de crueldad histórica, que la guerra de Ucrania podría poner de actualidad”, afirma Antonio Durán, investigador de la Universidad de Sevilla y autor de 'Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas' (Destino, 2009), sobre la Escuela de Lwów.

No obstante, Pikhurko reivindica su filiación de esa escuela. “Banach fue profesor en la universidad en la época soviética y debió influir en muchos matemáticos ucranianos. Lviv sigue siendo fuerte en esos ámbitos y siempre ha mantenido contactos fuertes con los matemáticos polacos”, concluye.